第7章：数值积分与差分

求积公式

梯形公式用线性插值的积分近似原积分。等距复合梯形在 $f\in C^2[a,b]$ 等条件下全局误差为 $O(h^2)$ ；复合 Simpson 要求偶数小区间，对足够光滑函数有 $O(h^4)$ 误差。

阶数说明 h 缩小时的渐近速率，不是任何固定步长下的绝对优劣。端点奇异、振荡和不连续会破坏常规误差假设。

积分 $\int_0^1x^2dx=1/3$ 。单区间梯形给出 1/2；把区间二分，复合梯形给出 3/8；一步 Simpson 使用 0、1/2、1 三点，结果为

\frac16\left(0+4\cdot\frac14+1\right)=\frac13.

Simpson 对三次及以下多项式精确，但对一般函数仍有误差，不能凭这一个例子认为它总精确。

n 点 Gauss 求积选择节点与权重，使其在相应权函数下对次数至多 $2n-1$ 的多项式精确。节点并非随意等距，它们与正交多项式的根有关。

自适应求积比较不同尺度或不同阶公式的结果，估计哪里需要细分。若函数在尚未采样处有极窄尖峰，两次估计都可能漏掉，误差估计不是对任意黑盒函数的无条件保证。

前向差分 $[f(x+h)-f(x)]/h$ 的截断误差通常为 $O(h)$ ，中心差分为 $O(h^2)$ 。减小 h 同时会放大函数求值和相消误差，典型模型可写为

E(h)\approx C_1h^p+C_2u/h.

平衡两项得到 $h$ 量级为 $u^{1/(p+1)}$ ，常数还取决于函数尺度与导数。令 h 越小越好是错误策略。

自动微分按程序链式法则计算导数，与有限差分不同，但仍受浮点、不可微点和程序本身语义限制。