第5章：非线性方程与求根

二分法

连续函数在端点异号的区间内至少有一个根。二分每次保留仍异号的一半，区间长度经过 k 次变为 $(b-a)/2^k$ ，以中点近似时误差至多是剩余长度的一半。

保证来自连续性与括区间，不要求可微。偶重根可能不改变符号，因此没有异号端点不代表没有根。

用局部线性近似 $f(x+d)\approx f(x)+f'(x)d$ ，令其为零，得到

x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}.

若根 $x^*$ 附近足够光滑、 $f'(x^*)\ne0$ ，且初值足够近，Taylor 展开给出 $e_{k+1}\approx[f''(x^*)/(2f'(x^*))]e_k^2$ ，因此局部二次收敛。

条件缺失时可能失败。函数 $f(x)=x^3-2x+2$ 从 0 出发，下一步为 1，再回到 0，形成二周期，尽管实根存在。

若 $f(x)=(x-a)^m$ ，Newton 误差满足 $e_{k+1}=(1-1/m)e_k$ ，只线性收敛。已知重数时可以使用修正步长恢复更快收敛。

割线法用两点差商代替导数，在简单根附近和适当条件下有约 1.618 阶收敛，省去解析导数但失去二分的全局括区间保证。

$|f(x)|$ 小并不保证 x 接近根。若斜率很小，函数残差可小而位置误差仍大；若步长很小，也可能只是舍入或导数计算导致停滞。

可结合括区间宽度、残差缩放、迭代步长和最大迭代数。混合方法用二分保证范围，用 Newton 或割线加速，但每次快速步都要检查是否适合。

对 $F(x)=0$ ，Newton 每步解 $J(x)d=-F(x)$ ，再更新。Jacobian 接近奇异、初值不佳和函数尺度不同都会影响求解；“把除法换成矩阵逆”只是符号说明，不是推荐实现。