第6章：量子信道、纠错与容错

噪声信道

开放系统用量子信道描述，一种表示为

$$\mathcal E(\rho)=\sum_i E_i\rho E_i^\dagger,\qquad\sum_iE_i^\dagger E_i=I.$$

比特翻转、相位翻转和振幅衰减影响不同性质，不能把所有噪声都等同于经典位错误。测量、门和空闲存储也可能各有噪声。

编码与综合征

量子纠错把一个逻辑比特编码进多个物理比特，用冗余检测错误而不直接读取逻辑振幅。

三比特重复码 $\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle\mapsto\alpha|000\rangle+\beta|111\rangle$ 可纠正至多一个 X 错误。测量 $Z_1Z_2$、$Z_2Z_3$ 的本征值，识别哪个位置翻转，而不区分逻辑 0 与 1。

综合征 $(+,+)$ 对应无 X 错误，$(-,+)$ 对应第一位，$(-,-)$ 对应第二位，$(+,-)$ 对应第三位，均以至多一个翻转为前提。

不是复制未知态

编码后的 $\alpha|000\rangle+\beta|111\rangle$ 不等于 $(\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle)^{\otimes3}$，所以没有违反不可克隆定理。

该重复码不能纠正任意相位错误。完整量子纠错需要同时处理 X 与 Z 类型的误差，并控制测量错误。Pauli 错误基帮助分析一般噪声，但不意味着实际噪声每次都只是一个可观察的离散标签。

距离与容错

距离为 d 的量子码可在相应错误模型下纠正至多 $\lfloor(d-1)/2\rfloor$ 个任意单比特错误。编码本身还不够：一次物理故障若在纠错电路中扩散为多个数据错误，可能超过纠错能力。

容错设计限制错误传播，并反复测综合征。阈值定理在规定的噪声和操作假设下说明，当物理误差低于阈值时，可通过增加资源降低逻辑错误；阈值不是所有器件和相关噪声通用的常数。

练习

1. 手算三个单 X 错误的综合征。
2. 对第一位施加 Z，说明三比特重复码为什么不能按同样方法纠正。
3. 区分物理比特数、逻辑比特数和逻辑门所需时间。