第1章：量子态、复振幅与测量

计算、通信与物理实现

量子信息的基本对象是状态，允许的处理方式包括幺正操作、测量和更一般的量子信道。电路模型把操作组织成计算过程，算法设计安排干涉以提高所需结果的测量概率；量子通信研究在量子信道、经典信道和预共享纠缠条件下能传递什么信息。

纠错与容错处理这些抽象操作在有噪声设备上如何保持可靠。一个算法可能只用很少的逻辑量子比特，却需要大量物理比特维护它们。复杂度分析中的门、查询和电路深度，与实验中的器件数、误差率和运行时间属于不同层面的量，必须经过实现方案才能联系起来。

本章建立状态与测量规则，随后用这些规则计算门、纠缠、通信协议和算法的行为。后面的纠错与资源分析会继续使用同一套状态描述，不额外引入一种能绕过测量限制的信息读取方式。

单比特状态

纯量子比特写为 $|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$，其中 $\alpha,\beta\in\mathbb C$ 且 $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$。在计算基测量时得到 0、1 的概率分别为这两个模平方。

振幅不是普通概率，它可以带符号和相位。整体相位 $e^{i\theta}|\psi\rangle$ 不改变测量统计，相对相位却会改变后续演化中的干涉。

纯态由单位向量表示，但相差整体相位的向量描述同一物理态。因此“存有两个复数”也需要理解其中归一化与相位冗余。

测量与投影

正交投影测量用 $\{P_j\}$ 描述，满足 $\sum_jP_j=I$。结果 j 的概率为 $\langle\psi|P_j|\psi\rangle$，若概率非零，条件测后态为

$$\frac{P_j|\psi\rangle}{\sqrt{\langle\psi|P_j|\psi\rangle}}.$$

测量一般改变状态。一次结果是一个经典样本，不能从中直接读出全部振幅；估计分布或重建态需要多次独立制备与测量。

相对相位的可观察效果

$|+\rangle=(|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt2$ 与 $|-\rangle=(|0\rangle-|1\rangle)/\sqrt2$ 在计算基都给出均匀结果。

施加 Hadamard 门 H 后，前者变为 $|0\rangle$，后者变为 $|1\rangle$。原先在该测量基下不可区分的相位差，通过变换成为确定可区分的输出。

这也是量子算法必须安排干涉的原因：仅制备均匀叠加再直接测量，通常只得到随机样本。

多比特与张量积

两个独立比特态组成 $|\psi\rangle\otimes|\phi\rangle$，n 比特空间维数为 $2^n$。一般态要用指数多个振幅描述，但高维描述不表示一轮测量可输出指数多个经典答案。

电路仍需付出态制备、门操作和重复采样成本。一个任意的指数规模向量也不一定能用短电路高效制备。

练习

1. 对 $(\sqrt3|0\rangle+i|1\rangle)/2$ 求计算基测量概率。
2. 手算 H 对 $|+\rangle$ 与 $|-\rangle$ 的作用。
3. 为什么 $|\psi\rangle$ 与 $-|\psi\rangle$ 无法通过测量区分？